Mathematische Betrachtungen einer einfachen Titrationsfunktion

[mgritsch]

Aus reiner Selbstkasteiung berechnen wir die zweite Ableitung von \((1)\).

Kann man machen, aber wenn du Aussagen über die Titrationskurve als pH=f(V) treffen willst wäre die 2. Ableitung von (5) gefragt

[MarbsLab]

Kann man machen, aber wenn du Aussagen über die Titrationskurve als pH=f(V) treffen willst wäre die 2. Ableitung von (5) gefragt

Die differenziere ich im Schlaf zweimal

[mgritsch]

Die differenziere ich im Schlaf zweimal

Und, hast du gut geschlafen?
Vermutlich hast du ein wahrhaft wunderbares Ergebnis raus, aber der Platz reicht hier nicht es aufzuschreiben

[MarbsLab]

aber der Platz reicht hier nicht es aufzuschreiben

Wenn das kein Hinweis auf den Großen Satz von Fermat ist

"Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

[mgritsch]

Wenn das kein Hinweis auf den Großen Satz von Fermat ist

Na wenn der nicht angekommen wäre, wäre ich enttäuscht gewesen.

"Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

Ich wusste gar nicht dass er auch hier angemeldet ist

[aliquis]

"Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

Ich wusste gar nicht, dass man im 17. Jh. schon User hier im Forum werden konnte...
Definitiv aber der älteste und berühmteste in unseren Reihen...
Leider kann man den nur noch zitieren. Posten wird der selbst wohl nichts mehr.

P.S.: Ich habe seinen Namen angeklickt und es erscheint das Profil von mgritsch.... Hat Fermat den Jungbrunnen gefunden und lebt heute unter Decknamen in ?...

[mgritsch]

Da Polynome extrem einfach zu differenzieren sind, überlassen wir es dem geneigten Leser, die entsprechenden Ableitungen des Zählers und des Nenners von \((1)\) zu berechnen und in \((7)\) einzusetzen.

Klassiker.

Die Gleichung \((8)\) lässt sich allgemein analytisch nicht mehr lösen, da sowohl \(\displaystyle {{v(x_0)}^2\cdot u^{\prime\prime}\left(x_0\right)} \) als auch \(\displaystyle {u(x_0)\cdot{v^{\prime} (x_0)}^2}\) zu Termen führt, in denen \(\displaystyle {x_0^7}\) auftritt. Die Nullstellen können also allgemein nur nummerisch bestimmt werden.

Ich wiederhole die Frage: findest du nach wie vor dass "\(v_{b}(h)\) ist nicht sonderlich praktikabel" sei oder ob vielleicht das simple Vertauschen der Achsen doch die sinnvollste und einfachste Lösung sein könnte? Numerisch müssen wir am Ende so oder so arbeiten, und man beachte dass wir bisher nur den einfachsten Fall "einbasige Säure und starke Lauge" betrachtet haben. Mit jedem weiteren "H" in der Säure kommen 2 Potenzen dazu (und jede Menge Terme...)

Natürlich rechnen wir ab hier nicht weiter per Hand. Mein alter Physikprofessor hat immer gesagt: "Das überlassen wir den Rechenknechten!"

Ach? Nicht mehr den Lesern?

Befassen wir uns als nächstes mit der 2. Ableitung von (5)

das mit der Ableitung des log war klar. Aber was wir weiter suchen ist doch die Ableitung von einem komplizierten Term mit Wurzeln von Potenzen von C und D die sich aus der zweiten substitution ergeben haben, und in C und D stecken die Variablen a,b,c,d und erst dort wieder die Variable Vb drin.
Von daher verstehe ich nicht ganz warum du da mit der Cardanischen Formel um die Ecke kommst, wo ist da das Polynom 3. Grades?

Und müsste man nicht die Kettenregel (log > 1/x) auf die Kettenregel (Wurzeln C, D..) der Kettenregel (C, D = f(a,b,c,d,)) der Kettenregel (a,b,c,d = f(Vb)) anwenden? Und das dann 2 mal?

Mal so Zwischenfrage: gibt es aus allen bisherigen Operationen bereits sowas wie "Erkenntnisse" aus deiner Sicht?

[MarbsLab]

Von daher verstehe ich nicht ganz warum du da mit der Cardanischen Formel um die Ecke kommst, wo ist da das Polynom 3. Grades?

Einfacher bzw. übersichtlicher abzuleiten. Da es sich um eine lineare Transformation handelt, gilt das auch für (5). Mir geht es nur darum, zu zeigen, dass der Wendepunkt selbst im einfachsten Fall "einbasige Säure und starke Lauge" nicht analytisch berechenbar ist, was impliziert, dass er generell nicht analytisch berechenbar ist. Und welches Polynom 3. Grades? Ich schrieb doch: Befassen wir uns als nächstes mit der 2. Ableitung von \((5)\). Da steht auf der rechten Seite doch die Cardanische Formel (mit lineare Transformation und Rücktransformation).

Und müsste man nicht die Kettenregel (log > 1/x) auf die Kettenregel (Wurzeln C, D..) der Kettenregel (C, D = f(a,b,c,d,)) der Kettenregel (a,b,c,d = f(Vb)) anwenden? Und das dann 2 mal?

Sehe dir bitte (11) nochmal an. Ich arbeite hier nur mit Funktionen. \(g(x)\) habe ich auf der rechten Seite noch gar nicht abgeleitet. Wenn ich denn ableite, leite ich auch die Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) mit den entsprechenden Regeln der Differentialrechnung ab. Was die Ungleichung log > 1/x mit der Kettenregel zu tun hat, erschließt sich mir auf die Schnelle auch nicht.

\(\displaystyle f'' (x)= \frac{g '(x)^{2}-g(x) \cdot g ''(x)}{g(x)^2}\) mit \(\displaystyle g(x)={\sqrt[{3}]{-{\frac {v(x)}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {v(x)}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {u(x)}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {v(x)}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {v(x)}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {u(x)}{3}}\right)^{3}}}}. \qquad (11)}\)

Wenn du \(\displaystyle -\log_{10}(g(x))\) zweimal ableitest, erhälst du genau das: \(\frac{g '(x)^{2}-g(x) \cdot g ''(x)}{g(x)^2}.\)

Numerisch müssen wir am Ende so oder so arbeiten

Was zu zeigen ist bevor wir so eine Aussage treffen . Als Chemiker kommst du damit davon, als Mathematiker nicht

Mal so Zwischenfrage: gibt es aus allen bisherigen Operationen bereits sowas wie "Erkenntnisse" aus deiner Sicht?

Mir geht es darum (darum geht es in der Mathematik überhaupt), ein paar Theoreme zu Titrationsfunktionen zumindestens skizzenhaft zu beweisen. Mir geht es nicht darum, was praktikabel ist oder nicht. Bitte nimm meine Bemerkungen nicht immer für bare Münze, wo wären wir ohne Humor .
Als nächstes kommen Punktsymmetrie und Grenzwertbetrachtungen dran. Vielleicht können wir schlußendlich noch ein Näherungsverfahren zumindest für den einfachsten Fall "einbasige Säure und starke Lauge" zu Wege bringen und müssen keine Kreise ziehen oder Tangenten herumschupsen

Ansonsten, wenn es für das Forum ohne Belang ist, kann ich es auch löschen.

[Chemo Troll]

Ansonsten, wenn es für das Forum ohne Belang ist, kann ich es auch löschen.

Neee, bitte nicht.
Wer grundlos löscht, der lügt.
Es sei denn es wird zu unübersichtlich, aber das wäre dann ja auch ein Grund.

LG

[mgritsch]

Da es sich um eine lineare Transformation handelt, gilt das auch für (5). Mir geht es nur darum, zu zeigen, dass der Wendepunkt selbst im einfachsten Fall "einbasige Säure und starke Lauge" nicht analytisch berechenbar ist, was impliziert, dass er generell nicht analytisch berechenbar ist.

Alles klar. Dachte schon du willst (5) in seiner ganzen Pracht und Tiefe angehen

Was die Ungleichung log > 1/x mit der Kettenregel zu tun hat, erschließt sich mir auf die Schnelle auch nicht.

Menno, nimm doch nicht gleich alles so präzise genau mathematisch auf gemeint war dass aus einem log ein 1/x durch differenzieren resultiert. „>“ im Sinne eines Abbildungspfeils. Ein einsames „log“ ist ja auch kein mathematisch sauberer Ausdruck

Was zu zeigen ist bevor wir so eine Aussage treffen . Als Chemiker kommst du damit davon, als Mathematiker nicht

Naja, ich habe die Aussage zugegebenermaßen bisher durch „ist ja offensichtlich wenn man sich das ansieht“ für mich bewiesen, dir gebührt die Ehre das formell sauber gemacht zu haben

Ansonsten, wenn es für das Forum ohne Belang ist, kann ich es auch löschen.

Mammamia, ich meinte das nicht als versteckte Kritik oder Geringschätzung der Arbeit die da rein geflossen ist sondern als ehrliche offene Frage. Zwischen all den Erklärungen, Ansätzen und Transformationen ist das schon nicht mehr so leicht zu finden, zumal es auch ständig überarbeitet wird.

Sowas wie oben: „…nicht analytisch berechenbar ist, was impliziert, dass er generell nicht analytisch berechenbar ist“ ist zB eine sehr gute Erkenntnis, somit ist gesagt dass nicht bewiesen werden kann dass ÄP = Wendepunkt gilt. Man kann es lediglich numerisch approximieren, und dafür mag es unterschiedlich aufwändige Zugänge geben.

Auch interessant wäre mit Blick zurück zum Ausgangspunkt deiner Interpolation / Regression ob man zeigen kann ob der Wendepunkt eines hinreichend genau angenäherten Polynoms 3. Grades überhaupt mit dem der Titrationskurve zusammenfallen kann oder generell wo anders liegt. Oder welche andere einigermaßen einfache Funktion die beste Näherung ergeben könnte… (Taylor Reihe, mit wie vielen Gliedern? Irgendwelche sigmoiden Funktionen?) naja, viele Wünsche, aber das Jahr ist ja noch jung

[MarbsLab]

„>“ im Sinne eines Abbildungspfeils.

Ein Größer-Zeichen als Abbildungspfeil zwischen zwei mathematischen Begriffen in einem mathematischen Kontext zu verwenden, kann nur einem Chemiker einfallen. Alle toten Mathematiker machen gerade das :

ee5a583abf3c395d1d303e3d78aeaa36.gif (362.13 KiB) 2078 mal betrachtet

(Taylor Reihe, mit wie vielen Gliedern? Irgendwelche sigmoiden Funktionen?)

Keine schlechte Ideen, daran hatte ich auch schon gedacht. Komme ich noch dazu, aber sehr gut
Untersuchung auf Punktsymmetrie finde ich im Moment am spannensten.
Ich habe vor, jedes Jahr einen, vielleicht sogar zwei Artikel im Bereich der theoretischen Physik zu schreiben: Friedmann Gleichungen (Kosmologie, auch für Chemiker von Interesse), Schrödinger-Gleichung und Unschärferelation. Evtl. fange ich auch mit dem Planckschen Strahlungsgesetz an. Lass mich da aber zeitlich noch nicht festlegen.

Last question. Kann man beim Artikelschreiben den Entwurf irgendwie draften, also erst veröffentlichen, wenn er fertig ist?

[mgritsch]

Kann man beim Artikelschreiben den Entwurf irgendwie draften, also erst veröffentlichen, wenn er fertigi ist?

Nicht wirklich. Es gibt zwar einen „Entwurf speichern“ Button, aber das gilt glaube ich nur vorübergehend solange du angemeldet bist. Wüsste auch nicht wo/wie man sowas wieder öffnen und weiter machen könnte. Ist halt nur ein Forum, zum Labern und nicht für komplexe Publikation. Mein Workaround bei größeren Artikeln = offline schreiben, nur Bilder und Formatieren zum Schluss hier. Aber das wäre auch schade wenn alles im Kämmerchen fertig gemacht und zum Schluss rein gestellt wird ist sowas schon erschlagend viel und schreckt vom genauen Lesen ab.

Vielleicht besser die Teile zuerst als einzelne Posts hier anhängen + oben in das gesammelte Werk dazu kopieren? Dann kann man die einzelnen Teile auch besser diskutieren.

(Btw, ich habe bisher ein = und ein + im Text benutzt, auf dass die toten Mathematiker in Schwung bleiben beim rotieren!

Mathematischer Nachtrag: der Weg der expliziten Funktion pH=f(Vb) hat ja bisher eher zur Erkenntnis geführt „kann (so) nicht analytisch gelöst werden“. Nun könnte man vielleicht zeigen dass der Wendepunkt der impliziten Form (Umkehrfunktion) Vb=g(pH) mit dem der expliziten ident (?) ist (bzw um die Achse x=y gespiegelt wenn man es genau nimmt…) und sich auf so die 2. Ableitung einer deutlich einfacheren Funktion verlegen. Wenn bei der bewiesen ist dass beim ÄP (hier gilt Va*Cb=Vb*Ca) auch der Wendepunkt liegt, dann wäre doch noch der Beweis möglich. Ist das auch im Sinne der Punktsymmetrie?

[MarbsLab]

Ist halt nur ein Forum zum Labern

Das ist sehr schade. Es muss ja keine komplexe Publikation sein. Leute wie Schnippschnapp finde ich, bereichern das Forum. Er stürzt sich kopfüber in die Chemie, baut seine Apparaturen mit einfachen Mitteln, postet seine Fortschritte und lernt dazu.

Gut an der live Artikelschreibversion finde ich, dass wir beide uns gegenseitig zuarbeiten.

Mathematischer Nachtrag: der Weg der expliziten Funktion pH=f(Vb) hat ja bisher eher zur Erkenntnis geführt „kann (so) nicht analytisch gelöst werden“. Nun könnte man vielleicht zeigen dass der Wendepunkt der impliziten Form (Umkehrfunktion) Vb=g(pH) mit dem der expliziten ident (?) ist (bzw um die Achse x=y gespiegelt wenn man es genau nimmt…) und sich auf so die 2. Ableitung einer deutlich einfacheren Funktion verlegen. Wenn bei der bewiesen ist dass beim ÄP (hier gilt Va*Cb=Vb*Ca) auch der Wendepunkt liegt, dann wäre doch noch der Beweis möglich. Ist das auch im Sinne der Punktsymmetrie?

Darauf würde ich noch näher eingehen, wenn wir uns mit der Punktsymmetrie beschäftigen. Zum Äquivalenzpunkt schreibt Wiki hier: "Am Äquivalenzpunkt ist die Änderungsrate des pH-Werts maximal, die Titrationskurve beschreibt hier daher einen Wendepunkt". Wobei wir wieder bei der zweiten Ableitung wären, da am Wendepunkt die Steigung maximal ist, also die Änderungsrate des pH-Werts maximal ist. Und wie wir schon wissen, gibt es keine allgemeine analytische Lösung des Wendepunktes, will heißen, dass es allgemein nicht möglich ist, die Bedingung \(v_{a}\cdot c_{b}=v_{b}\cdot c_{a}\) für den Wendepunkt daraus herzuleiten. Hier helfen allgemein nur heuristische Überlegungen weiter.

[mgritsch]

Und wie wir schon wissen, gibt es keine allgemeine analytische Lösung des Wendepunktes, will heißen, dass es allgemein nicht möglich ist, die Bedingung \(v_{a}\cdot c_{b}=v_{b}\cdot c_{a}\) für den Wendepunkt daraus herzuleiten. Hier helfen allgemein nur heuristische Überlegungen weiter.

finde ich nicht.
Nur weil ich die Kurve um die Diagonale x=y (bzw pH = Vb) gespiegelt habe hat sich der Wendepunkt nicht verändert, ist immer noch die genau gleiche Kurve. Und in der Vb=f(pH) Form sollte sie vernünftig differenzierbar und lösbar sein.

[MarbsLab]

Und in der Vb=f(pH) Form sollte sie vernünftig differenzierbar und lösbar sein.

Siehe \((7)\) und \((8)\). Der Wendepunkt von \(v_b(h)\) lässt sich allgemein analytisch nicht bestimmen. Und wenn du \((5)\) nach \(v_b(pH)\) auflöst, erhälst du die gleiche Chose wie \((1)\) nur mit \(\displaystyle 10^{pH},(10^{pH})^2, (10^{pH})^3\) statt mit \(h\).
Die Beweise stehen da. Es gäbe nur etwas zu diskutieren, wenn sie fehlerhaft wären.

Das ganze ist aber auch kein Beinbruch. Kommt in der Physik andauernd vor. Einstein hat bei der Herleitung seiner berühmten Formel auch Funktionen mittels Taylor-Reihe approximiert, um auf ein physikalisch sinnvolles Ergebnis zu kommen. Zur Taylor-Reihe kommen wir noch